Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD与点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图1所示，

如图1所示，易证EG=CG且EG⊥CG
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。

关键要解第（2）

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Answer 1

EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1 2 FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）

Answer 2

（2）延长DC,EF交于H，连接GH。延长EG交AD于M。易证△FEG≌△DMG，则易得CG垂直平分EG。由辅助线易证HG为Rt△DHF的垂直平分线，则四边形BCHE是矩形。则易证△FEG≌△HCG，则EG=CG且EG⊥CG。
我可能做复杂了，因为好久没做过了，而且只想了会- -。
看懂了就自己写过程吧，只给你思路。
做几何题就是要敢添辅助线，最后来简化，还要掌握添辅助线的方法。

Answer 3

F点是怎么回事，你再检查一下题目，谢谢合作！

Answer 4

bjyukoi

Answer 5