Question

已知函数f(x) =lnx-mx，讨论该函数零点的个数。

Answer 1

f(x) =lnx-mx ,x>0
lnx-mx=0,m=(lnx)/x
设g(x)=(lnx)/x
f(x)的零点就是g(x)的图象与直线y=m交点的横坐标
g'(x)=(1-lnx)/x²
x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在其上单增,且值域是(-∞,1/e)
x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在其上单减,且值域是(0,1/e)
g'(e)=0,g(x)在x=e处取极大值,也是最大值1/e.
(由上可作出g(x)的大致图象)
所以 当m>1/e时,f(x)无零点;
当m=1/e或m≤0时,f(x)有1个零点;
当0<m<1/e时,f(x)有2个零点.