Question

在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线L经过O，C两点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11

，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A-B-C的方向向点C运动，过点P 作PM垂直于X轴，与折线O-C-B相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为T秒（T大于O），△MPQ的面积为S。
（1）点C的坐标为 ，直线L的解析式为 ；
（2）试示点Q与点M相遇前S与T的函数关系式，并写出相应的T的取值范围；
（3）试求题（2）中当T为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M的线段CB上运动时，设PM的延长线与直线L相交于点N，试探究：T为何值时，△QMN为等腰三角形？请写出T的值。

Answer 1

解：（1）由题意知：点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11.4），
且OA=BC，故C点坐标为C（3，4），
设直线l的解析式为y=kx，
将C点坐标代入y=kx，
解得k=4 3 ，
∴直线l的解析式为y=4 3 x；
故答案为：（3，4），y=4 3 x；

（2）根据题意，得OP=t，AQ=2t．分三种情况讨论：
①当0＜t≤5 2 时，如图1，M点的坐标是（t，4 3 t）．
过点C作CD⊥x轴于D，过点Q作QE⊥x轴于E，可得△AEQ∽△ODC，
∴AQ OC =AE OD =QE CD ，
∴2t 5 =AE 3 =QE 4 ，
∴AE=6t 5 ，EQ=8 5 t，
∴Q点的坐标是（8+6 5 t，8 5 t），
∴PE=8+6 5 t-t=8+1 5 t，
∴S=1 2 •MP•PE=1 2 •4 3 t•(8+1 5 t)=2 15 t2+16 3 t，

②当5 2 ＜t≤3时，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，
∵BQ=2t-5，
∴OF=11-（2t-5）=16-2t，
∴Q点的坐标是（16-2t，4），
∴PF=16-2t-t=16-3t，
∴S=1 2 •MP•PF=1 2 •4 3 t•(16-3t)=-2t2+32 3 t，

③当点Q与点M相遇时，16-2t=t，解得t=16 3 ．
当3＜t＜16 3 时，如图3，MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4．
S=1 2 •MP•PF=1 2 •4•（16-3t）=-6t+32，

（3）①当0＜t≤5 2 时，S=2 15 t2+16 3 t=2 15 (t+20)2-160 3 ，
∵a=2 15 ＞0，抛物线开口向上，t=5 2 时，最大值为85 6 ；
②当5 2 ＜t≤3时，S=-2t2+32 3 t=-2(t-8 3 )2+128 9 ．
∵a=-2＜0，抛物线开口向下．
∴当t=8 3 时，S有最大值，最大值为128 9 ．
③当3＜t＜16 3 时，S=-6t+32，
∵k=-6＜0．
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=3时，S=14．当t=16 3 时，S=0．
∴0＜S＜14．
综上所述，当t=8 3 时，S有最大值，最大值为128 9 ．

（4）当M点在线段CB上运动时，点Q一定在线段CB上，
①点Q在点M右侧，QM=xQ-xM=16-2t-t=16-3t，NM=NP-MP=4 3 t-4
则有16-3t=4 3 t-4 解得t=60 13 ；
②点Q在点M左侧，QM=xM-xQ=3t-16，NM=NP-MP=4 3 t-4
则有3t-16=4 3 t-4 解得t=36 5
但是，点Q的运动时间为（5+8）÷2=6.5秒，故将②舍去．
当t=60 13 时，△QMN为等腰三角形．

Answer 2

我最讨厌你们了发些我不会的题