Question

已知数列（Xn），（Yn）满足X1=X2=1，Y1=Y2=2并且X(n+1)/Xn=

已知数列{xn }、{yn}满足x1=x2=1 ，y1=y2=2并且x(n+1)/xn=λxn/x(n-1),y(n+1)/yn>=λyn/y(n-1)λ为非零实数，n=2,3,4,…）．
（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明：x(n+1)/y(n+1)<=xn/yn ．（n∈N*）
（3）当λ>1时，证明(x1-y1)/(x2-y2)+(x2-y2)/(x3-y3)+省略号+(xn-yn)/(xn+1-yn+1)＜λ/(λ-1)(n∈N*).

Answer 1

（1）x3=λ,x4=λ^3,x5=λ^6,
由x1,x3,x5成等比数列，得
λ^2=λ^6,λ≠0，
∴λ=土1.
（2）λ>0时易知xn,yn>0,
由x<n+1>/xn=λxn/x<n-1>,得x<n+1>/xn=(x2/x1)*λ^(n-1)=λ^(n-1),
由y<n+1>/yn≥λyn/y<n-1>，得y<n+1>/yn≥λ^(n-1)=x<n+1>/xn,
∴x<n+1>/y<n+1>≤xn/yn.
(3)？

Answer 2

（1）解：由已知x1=x2=1，且x3x2=λ
x2x1
∴x3=λ，同理可知x4=λ3，x5=λ6，若x1、x3、x5成等比数列，则x32=x1x5，即λ2=λ6．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0，yn＞0．由不等式的性质，有yn+1yn≥λ
ynyn-1≥λ 2yn-1yn-2…≥
λ n-1y2y1=λn-1；
另一方面，xn+1xn=λ
xnxn-1=λ 2xn-1xn-2…λ n-1x2x1=λn-1．
因此，yn+1yn≥λ n-1=xn+1xn（n∈N*）．故xn+1yn+1≤
xnyn（n∈N*）．
（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，yn＞xn≥1（n∈N*）．
又由（Ⅰ）xn+1yn+1≤
xnyn（n∈N*），则yn+1-xn+1xn+1≥yn-xnxn，
从而yn+1-xn+1yn-xn≥xn+1xn（n∈N*）．
∴x1-y1x2-y2+
x2-y2x3-y3+…+
xn-ynxn+1-yn+1=
1-(
1λ)21-
1λ＜
λλ-1(n∈N*)

Answer 3

x3=λ,x4=λ^3,x5=λ^6,
由x1,x3,x5成等比数列，得
λ^2=λ^6,λ≠0，
∴λ=土1.