Question

定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f[(x-y)/(1-xy)],当x属于(-1,0)时,有f(x)>0,且f(-/2)=1,

设m=f(1/5)+f(1/11)+...+f[1/(n^2+n+1)],n>=2,则m与-1的大小关系为______

Answer 1

先纠正：“设m=f(1/5)+f(1/11)+...+f[1/(n^2+n+1)],”应为：
“设m=f(1/5)+f(1/11)+...+f[1/(n^2+n-1)],”。显然从结构上看这个问题f[1/(n^2+n-1)]是这
个整体式子的通项形式，当n=2时就应该是f(1/5)，故问题应改一下形式。
由于函数f(x)满足f(x)-f(y)=f[(x-y)/(1-xy)],
令x=y=0时，f(0)-f(0)=f(0) =>f(0)=0；
令x=0,y=x，则f(0)-f(x)=f(-x) =>函数f(x)在(-1,1)上为奇函数；【此反映抽象函数奇偶性证明】
由于当x属于(-1,0)时,有f(x)>0；故当x属于(0,1)时,有f(x)<0；
且f(-1/2)=1=-f(1/2) =>f(1/2)=-1；
【 令x>y，且x、y属于(0,1)，则(x-y)/(1-xy)>0,则f[(x-y)/(1-xy)]<0；
即f(x)-f(y)=f[(x-y)/(1-xy)]<0 =>f(x)-f(y)<0 =>f(x)<f(y)，故函数f(x)在(0,1)上为减函数；】
【此处可以反映抽象函数的单调性证明，事实上这里可以不用，写完才发现，不忍删去...】
令x=1/n，y=1/(n+1)，则f(x)-f(y)=f[(x-y)/(1-xy)]
=>f(1/n)-f(1/(n+1))=f{[(1/n-1/(n+1)]/[(1-(1/n)*1/(n+1)]}
=f[1/(n^2+n-1)] 【此处实反映裂项法，以便后面求和相消】
从而m=f(1/5)+f(1/11)+...+f[1/(n^2+n+1)]
=[f(1/2)-f(1/3)]+[f(1/3)-f(1/4)] [f(1/4)-f(1/5)]+...+ [f(1/n)-f(1/(n+1))]
=f(1/2)-f(1/(n+1))
=-1-f(1/(n+1))
因为1/(n+1)属于(0,1)时,有f(1/(n+1))<0，故-1-f(1/(n+1))>-1
即 m>-1 #

Answer 2

此题错误

Answer 3

好难