Question

已知椭圆E：x²/t+y²/3=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k的直线交E于A，M两点，

已知椭圆E：x²/t+y²/3=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k的直线交E于A，M两点，且N在E上，MA⊥NA。
求当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围

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Answer 1

A(-√t,0),
AM:y=k(x+√t),①
代入x^2/t+y^2/3=1得3x^2+k^2t(x^2+2x√t+t)=3t,
整理得(3+k^2t)x^2+(2k^2t√t)x+k^2t^2-3t=0,
x1=-√t,x2=(3-k^2t)√t/(3+k^2t)=xM,
代入①，yM=6k√t/(3+k^2t),
NA⊥MA,以-1/k代k得xN=(3-t/k^2)/(3+t/k^2)=(3k^2-t)/(3k^2+t),
yN=-6k√t/(3k^2+t),
2|AM|=|AN|,
∴4{[(3-k^2t)√t/(3+k^2t)+√t]^2+[6k√t/(3+k^2t)]^2}
=[(3k^2-t)/(3k^2+t)+√t]^2+[-6k√t/(3k^2+t)]^2,繁！
待续。

追问

？？？然后呢？

追答

A(-√t,0),
设M(-√t+mcosu,msinu),N(-√t+2msinu,-2mcosu),m>0,则
（-√t+mcosu）^2/t+(msinu)^2/3=1,①
(-√t+2msinu)^2/t+(-2mcosu)^2/3=1.②
（②-①）*3t/m，得3(2sinu-cosu)(2msinu+mcosu-2√t)+mt[4(cosu)^2-(sinu)^2]=0,
∴m{3(2sinu-cosu)(2sinu+cosu)+t[5(cosu)^2-1]}=6(2sinu-cosu)√t,
m=6(2sinu-cosu)√t/{3(2sinu-cosu)(2sinu+cosu)+t[5(cosu)^2-1]},
代入①，（-1+12cosu(2sinu-cosu)/{3(2sinu-cosu)(2sinu+cosu)+t[5(cosu)^2-1]}）^2
+12t(sinu(2sinu-cosu)/{3(2sinu-cosu)(2sinu+cosu)+t[5(cosu)^2-1]})^2=1,
分子分母都除以(cosu）^2,并代入tanu=k,得
{-1+12（2k-1）/[3(2k-1)(2k+1)+t(4-k^2)]}^2+12t{k(2k-1)/[3(2k-1)(2k+1)+t(4-k^2)]}^2=1,
去分母后是k的4次方程，又含参数t,无法解。