Question

已知焦点在x轴上的椭圆E:x^2/4+y^2/b^2=1,离心率e=√3/2，直线l：x=my+1与椭圆E相交于不同的两点A、B.

（2）在x轴上是否存在点M，使得直线MA与直线MB生物斜率之积为定值。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

椭圆方程是：x²/4＋y²=1，即：x²＋4y²=4
将直线x=my＋1代入椭圆，得：
(m²＋4)y²＋2my－3=0
设：A(x1，y1)、B(x2，y2)，则：
y＋y2=－(2m)/(m²＋4)；y1y1=－3/(m²＋4)
设：M(t，0)，则：
AM的斜率是k1=(y1)/(x1－t)
BM的斜率是k2=(y2)/(x2－t)
k1k1=(y1y2)/[(x1－t)(x2－t)]=(y1y2)/{[my1＋1－t]×[my2＋1－t]}
而：(my1＋1－t)(my2＋1－t)=m²(y1y2)＋(1－t)m(y1＋y2)＋(1－t)²
代入，化简得：
k1k1=(－3)/{[(1－t)²－2(1－t)－3]m²＋4(1－t)²}
要使得这个值与m无关，则：
(1－t)²－2(1－t)－3=0
得：t=±2
也就是说，在x轴上的定点是：M(±2，0)