Question

这个无穷级数怎么求和？

1/1^1+1/2^2+1/3^3+....
是收敛的还是发散的?
和是多少?
注意,不是1/n^2,而是1/n^n!

Answer 1

1＋1/2²＋1/3²＋ … ＋1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6

Answer 2

A=1/1^1+1/2^2+1/3^3+...+1/n^n+...
<1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2+...=π²/6
故级数收敛.

可以证明A是一个无理数,跟e,pi等无理数并没有函数关系.故无法用现有符号系统表示.

matlab计算结果:
A = 1.291285997...
2^(1/4) = 1.189207115...
3^(1/4) = 1.316074013...
2^(1/2) = 1.414213562...
e = 2.718281828...
pi = 3.141592653...

Answer 3

这个级数是收敛的,我只能算到这么多.