Question

初中如图抛物线y＝-根号3/3x^2-2/3倍根号3x+根号3 ，x轴于A、B两点，交y轴于点c，顶点为D。

如图抛物线y＝-根号3/3x^2-2/3倍根号3x+根号3 ，x轴于A、B两点，交y轴于点c，顶点为D。 2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC：
①求E点坐标。
②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由。
3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的
周长最小，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明
理由？

Answer 1

（1）、y＝-（√3/3)x²-(2√3/3)x+√3
交y轴于C的坐标（0，√3）
交x轴于A、B坐标：-（√3/3)x²-(2√3/3)x+√3=0 整理x²+2x-3=0 x=-3 x=1
A坐标（-3，0）B坐标（1，0）
A、B对称点（中点）M为（-1，0）所以顶点D坐标为（-1，4√3/3）
把△ABC绕AB的中点M旋转180°，B点与A点重合，A点与B点重合，C到第三象限得E，
E点的纵坐标长=OC=√3
横坐标长=2
所以E坐标（-2，-√3）
（2）BC²=1+3=4 AC²=9+3=12 AB²=(1+30²=16
∴BC²+AC²=AB²
∴△ABC是直角三角形
∴△ABC绕AB的中点M旋转180°得Rt△ABC≌Rt△ABE
∴∠ACB=∠AEB=90° ∠CAB+∠EAB=90°
∴四边形AEBC是矩形
3、 求BC直线方程，y=-√3x+√3
D以BC直线对称的点P所在直线方程的斜率=1/√3=√3/3
方程（y-4√3/3)=√3/3(x+1)
y=(√3/3)x+5√3/3
BC与DP交点为-√3x+√3=(√3/3)x+5√3/3 x=-1/2 y=3√3/2
根据中点公式
x=(-1/2)×2-(-1)=0
y=(3√3/2)×2-(4√3/3)=5√3/3
所以P坐标（0，5√3/3）

Answer 2

同学，三角形ABC怎么可能绕一个点旋转，应该是一条直线才对吧，麻烦再说清楚点，绕中线（DM）还是底边（AB）

追问

绕底边AB

追答

解：1.E点关于C点对称。E（0，负根号3）
2.四边形AEBC中的角C和角E为90度，角A为60度，角B为120度。把点A和B的坐标算出来分别是（-3,0）和（1,0）这样AB长为4，BC和AC分别可算出为2和2根号3，这样用勾股定理可以证明三角形ABC为直角三角形，各个角度也都知道了，三角形ABE与ABC对称，大致情况就是这样。具体自己写下
3.假设存在。既然要最短，那么就以直线BC为对称轴，作点D的对称点D'，连接AD'，AD'与BC的交点就是P，因为线段最短（DP+AP），AD是固定的，所以先把D'算出来，再算P这是关键。
希望对你有帮助