Question

观察下列各式规律:1^2+(1*2)^2+2^2=(1*2+1)^2，2^2+(2*3)^2+3^2=(3*2+1)^2 ，3^2+(3*4)^2+4^2=(3*4+1)^2

①写出第2001行式子
②写出第n行的式子，并证明你的结论

Answer 1

1.
2001²+(2001×2002)²+2002²=(2002×2001+1)²
2.
n²+[n(n+1)]²+(n+1)²=[n(n+1)+1]²
证：
[n(n+1)+1]²
=[n(n+1)]²+2n(n+1)+1
=[n(n+1)]²+2n²+2n+1
=[n(n+1)]²+n²+n²+2n+1
=[n(n+1)]²+n²+(n+1)²
=n²+[n(n+1)]²+(n+1)²
等式成立。

Answer 2

2001^2+(2001*2002)^2+2001^2=(2001*2002+1)^2
n^2+[n*(n+1)]^2+n^2=[n*(n+1)+1]^2
用数学归纳法证明

Answer 3

①2001²+（2001x2002）²+2002²=（2001x2002+1）²
②n²+｛n（n+1）｝²+（n+1）²=｛n（n+1）+1｝²
祝学习进步~

Answer 4

第一个问题：
第2011个式子是：2011^2＋（2011×2012）^2＋2012^2＝（2011×2012＋1）^2。

第二个问题：
第n行的式子是：n^2＋［n（n＋1）］^2＋（n＋1）^2＝［n（n＋1）＋1］^2。
证明如下：
n^2＋［n（n＋1）］^2＋（n＋1）^2
＝［n（n＋1）］^2＋n^2＋（n^2＋2n＋1）
＝［n（n＋1）］^2＋2n^2＋2n＋1
＝［n（n＋1）］^2＋2n（n＋1）＋1
＝［n（n＋1）＋1］^2

Answer 5

方法一：第一个问题：
第2011个式子是：2011^2＋（2011×2012）^2＋2012^2＝（2011×2012＋1）^2。
第二个问题：
第n行的式子是：n^2＋［n（n＋1）］^2＋（n＋1）^2＝［n（n＋1）＋1］^2。
证明如下：
n^2＋［n（n＋1）］^2＋（n＋1）^2
＝［n（n＋1）］^2＋n^2＋（n^2＋2n＋1）
＝［n（n＋1）］^2＋2n^2＋2n＋1
＝［n（n＋1）］^2＋2n（n＋1）＋1
＝［n（n＋1）＋1］^2
证明完毕。
方法二：解：
（1）
由
1/(1×2)=(1/1)-(1/2)；
1/(2×3)=(1/2)-(1/3)；
1/(3×4)=(1/3)-(1/4)；
从上可以看出，等式左边可以拆成二个分母组成的分式之差，分子都为1,分母分别为为n和n+1
1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]
（2）证明：
等式右边=(1/n)-[1/(n+1)]
=(n+1)/[n(n+1)]-n/[n(n+1)]
=(n+1-n)/[n(n+1)]
=1/[n(n+1)]
=左边
所以等式成立
（3）求和：观察后可以发现好多项可以相互抵消
1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/(2009×2010)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+-------+1/2008-1/2009+1/2009-1/2010
=1+(-1/2+1/2)+(-1/3+1/3)+(-1/4+-------+1/2008+(-1/2009+1/2009)-1/2010
=1-1/2010
=2009/2010