Question

高二数学.

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1
1.求函数的单调区间
2.若f（x）<=0恒成立，试求k的取值范围
3.证明1.。1ln（x-1）<x-2在（2，+无穷）上恒成立
2.。求和符号lni/i+1<n（n-1）/4（n属于N，n>1)

Answer 1

1 .定义域为（1，+∞）
f'(x)=1/(x-1)-k =（-kx+k+1)/(x-1)
k=0时，f'(x)=1/(x-1)>0恒成立
f(x)递增区间为（1，+∞）
当k≠0时，f'(x)=-k[x-(1+1/k)]/(x-1)
当k<0时，1+1/k<1, f'(x)>0恒成立
f(x)递增区间为（1，+∞）
当k>0时，1+1/k>1,
f(x)递增区间为（1，1+1/k)
递减区间为(1+1/k,+∞)

2。 f（x）<=0恒成立，即f(x)max≤0
由1中得知，只有k>0时，f(x)才有最大值
k>0时，f(x)max=f((1+1/k)=ln(1+1/k-1)-k(1/k+1-1)+1≤0
ln(1/k)≤0 ==> 0<1/k≤1 ==>k≥1
∴符合条件的k的取值范围是k≥1

3
证明1.设g(x)=ln(x-1)-(x-2)
当x=2时，f(x)=0
求导，g'(x)=1/(x-1)-1=-(x-2)/(x-1)
当x＞2时，g'(x)<0,g(x)递减
∴g(x)>g(2)=0
∴ln(x-1)<x-2在(2,+∞)上恒成立

证明2,. ln[i/(i+1)]<n(n-1)/4
∵ ln(1/2)+ln(2/3)+ln(3/4)+....+ln[n/(n+1)]
=ln1-ln2+ln2-ln3+ln3-ln4+....+lnn-ln(n+1)
=-ln(n+1)
∴即证明-ln(n+1)<n(n-1)/4 明显成立呀

Answer 2

1，求导，f'(x)=1/(x-1)-k
求解临界值为x=1/k+1
当x＜1/k+1时，为单调递减
当x≥1/k+1时，单调递增
2，由1中得知，当x=1/k+1时为最小值
则ln(1/k+1-1)-k(1/k+1-1)+1≤0
ln(1/k)-1+1≤0
ln(1/k)≤0
所以k小于等于1
3，证明1.设f(x)=ln(x-1)-(x-2)
当x=2时，f(x)=0
求导，f'(x)=1/(x-1)-1
当x＞2时，f'(x)<0
因为当x=2时，f(x)=0且在x>2时为减函数，
所以ln(x-1)<x-2在(2,∞)上恒成立
证明2,。不懂你的lni/i+1不懂什么意思

Answer 3

详解见图（word编辑）