Question

高等数学题：设Ω为球体x^2+y^2+z^2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I= 三重积分x^2yzf(x,y^2,z^3)dv,则I=??

设Ω为球体x^2+y^2+z^2≤1,f(x,y,z)在Ω上连续，I= x^2yzf(x,y^2,z^3),则I=??
（答案是0）求详细过程！！！！！！
积分号插错地方了。。。应该在“I=”的后面。。。

Answer 1

积分区域关于xz平面对称，
被积函数F(x,y,z)=x^2yzf(x，y^2，z^3)关于xz平面奇对称，即
F(x,--y,z)=--x^2yzf(x,y^2,z^3)=--F(x,y,z)
因此由对称性，积分值是0。

追问

。。。关于哪个面奇对称，偶对称肿么看啊？能不能跟我讲一下，谢啦~~~~~~

追答

关于xz平面对称，就是点（x，y，z）位于定义域，则
（x，--y，z）位于定义域，也就是不考虑xz变化，只考虑
y从正变为负。
函数值一样，考虑
F(x，--y，z)=--F(x，y，z)，
因此是奇函数，积分值是0

追问

好人呐！！最后一个问题，问完就给你悬赏，f(x，y^2，z^3)里的y不用考虑吗，这里是y^2所以正负不影响，但如果换成y的奇次方那答案还一样吗？

追答

换成y的奇次方，结论就不对了，此时
F(x,y,z)就不知道是否是关于y的奇函数了，
因此积分值不一定是0了。
正因为f里面是y^2，因此
f(x，y^2，z^3)是关于y的偶函数，乘以外面的y后就是y的奇函数了。
所以结论才成立。