Question

等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）

等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）急用！多谢！要详细过程！拜托！

Answer 1

三角形内一点满足到三个顶点的距离之和最小的条件：这个点与三个顶点的连线两两成120°
（这个是个定理，具体证明忘了）

然后就很容易求得AP+BP+CP的最小值了。。。
如果AB=4是斜边的话，那么AP=BP=4/√3，CP=2-2/√3，最小值=2+2√3
当然，如果AB=4是直角边的话，那么最小值=2√2+2√6

Answer 2

以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，

∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．

∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，
∴A'C=PA+PB+PC，

∴A'C长度即为所求．

参考资料很详细。