Question

判断Y=1-2X^3在R上的单调性，并用定义证明

Answer 1

设x1,x2均在R上，且x1>x2

f(x1)-f(x2)= -2x1^3+2x2^3=-2(x1^3-x2^3)=-2(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)

1.当x1>x2>0时,-2(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)<0 f(x1)<f(x2)

2.当x2<x1<0时,-2(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)<0 f(x1)<f(x2)

3.当x1>0,x2<0时,x1^2+x2^2>-2x1x2 x1^2+x1x2+x2^2>-x1x2>0

-2(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)<0 f(x1)<f(x2)

综上所述：则f(x)为减函数，单调递减

Answer 2

证明

因为f(x+x')-f(x)=1-2(x+x')^3-(1-2x^3)=2x^3-2(x+x')^3
=2[x-(x+x')][x^2+(x+x')^2+x(x+x')]
=-2x' [x^2+(x+x')^2+x(x+x')]
当x'>0时，则x+x'>x
此时 f(x+x')-f(x)=-2x' [x^2+(x+x')^2+x(x+x')]<0， f(x) 为单调递减

当x'<0时，则x+x'<x
此时 f(x+x')-f(x)=-2x' [x^2+(x+x')^2+x(x+x')]>0， f(x) 为单调递减

综上，f(x)为单调递减函数

Answer 3

定义法证明：
在R上任取两个数x'、x''，不妨令x'<x''，即x'-x''<0
因为f(x')-f(x'')=1-2(x')^3-[1-2(x'')^3]=2x'^3-2(x'')^3
=2(x'-x'')(x'^2+x'x''+x''^2)
=2(x'-x'')[(x'-x'')^2+3x'x'']=2(x'-x'')[(x'+x'')^2-x'x'']
当x'与x''同号时，则x'-x''<0，(x'-x'')^2+3x'x''>0，
此时 f(x')-f(x'')=2(x'-x'')[(x'-x'')^2+3x'x'']<0， 即f(x')<f(x'')，此时f(x) 为单调递增

当x'与x''异号时，则x'<0<x''，此时x'-x''<0，(x'+x'')^2-x'x''>0，
因此 f(x')-f(x'')=2(x'-x'')[(x'+x'')^2-x'x'']<0，即f(x')<f(x'')，此时 f(x) 为单调递增

综上所述，对在R上任取的两个数x'<x''，都有f(x')<f(x'')，根据定义可知 f(x)在R上为单调递增函数