Question

证明cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 谁会

证明cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 谁会

Answer 1

方法一：

令复数z1＝cosA＋isinA、复数z2＝cosB＋isinB，则：

z1z2＝cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosA＋isinA）（cosB＋isinB），

∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝cosAcosB＋icosAsinB＋isinAcosB＋i^2sinAsinB，

∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosAcosB－sinAsinB）＋i（sinAcosB＋cosAsinB），

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB。

方法二：

在单位圆⊙O上作∠AOB＝A，使点A在x轴的正半轴上；再作∠BOC＝B，∠AOD＝－B。

那么，A、B、C、D的坐标依次为：

（1，0）、（cosA，sinA）、（cos（A＋B），sin（A＋B））、（cos（－B），sin（－B））。

∵OD＝OA、OB＝OC、∠DOB＝∠AOC＝A＋B，∴△DOB≌△AOC，∴DB＝AC。

由两点间距离公式，有：

DB＝√｛［cosA－cos（－B）］^2＋［sinA－sin（－B）］^2｝

＝√［（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2］，

AC＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［0－sin（A＋B）］^2｝

＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2｝，

∴（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2＝［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2，

∴（cosA）^2－2cosAcosB＋（cosB）^2＋（sinA）^2＋2sinAsinB＋（sinB）^2

＝1－2cos（A＋B）＋［cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2，

∴1－2cosAcosB＋1＋2sinAsinB＝1－2cos（A＋B）＋1，

∴－2cosAcosB＋2sinAsinB＝－2cos（A＋B），

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB。

Answer 2

把左边展开，化简在用1的关系能得到！你试一试！

Answer 3

令复数z1＝cosA＋isinA、复数z2＝cosB＋isinB，则：

z1z2＝cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosA＋isinA）（cosB＋isinB），

∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝cosAcosB＋icosAsinB＋isinAcosB＋i^2sinAsinB，

∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosAcosB－sinAsinB）＋i（sinAcosB＋cosAsinB），

∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB。

扩展资料：

常用的和角公式

sin(α+β)=sinαcosβ+ sinβcosα

sin(α-β)=sinαcosβ-sinB*cosα

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ) / (1+tanαtanβ)

二倍角公式

sin2α=2sinαcosα

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)