Question

急急急急急急!!!!!!请教数学高手一个学习上的疑问，谢谢！！！！！！

请问|向量PF1+向量PF2|与|向量PF1|+|向量PF2|这两者有什么区别吗，它们相等吗？我的数学成绩不太好，恳请数学达人详细解释，O(∩_∩)O谢谢！！

Answer 1

不一定相等。
一、当向量PF1、向量PF2有一者是零向量或两者都是零向量时，
　　｜向量PF1＋向量PF2｜＝｜向量PF1｜＋｜向量PF2｜。

二、当向量PF1、向量PF2都是非零向量时，
　　｜向量PF1＋向量PF2｜表示以PF1、PF2为邻边的平行四边形PF1QF2中PQ的长，
　　｜向量PF1｜＋｜向量PF2｜表示线段PF1与线段PF2的长度之和。
　　∵AF1QF2是平行四边形，∴PF1＝F2Q，显然有：PF2＋F2Q＞PQ。
　　∴此时有：｜向量PF1＋向量PF2｜＜｜向量PF1｜＋｜向量PF2｜。

追问

O(∩_∩)O谢谢，PF1＝F2Q，PF2＋F2Q=F1F2,，F1F2不也是等于PQ吗(⊙_⊙)？请指教！！
还有，请问当PF1=PF2时，｜向量PF1＋向量PF2｜就等于｜向量PF1｜＋｜向量PF2｜，对吗？

追答

1、∵PF1QF2是平行四边形，∴PF1＝F2Q是肯定的。
2、∵三角形两边之和大于第三边，∴PF2＋F2Q＝F1F2肯定是不成立的。
3、当PF1＝PF2＝0时，｜向量PF1＋向量PF2｜＝｜向量PF1｜＋｜向量PF2｜。
　　当PF1＝PF2≠0时，｜向量PF1＋向量PF2｜≠｜向量PF1｜＋｜向量PF2｜。

Answer 2

|向量PF1+向量PF2|与|向量PF1|表示以线段PF1和线段PF2为两条邻边作平行四边形，该平行四边形对角线的长。
|向量PF1|+|向量PF2|表示的就是线段PF1的长与线段PF2的长之和。
如果向量PF1和向量PF2不共线，二者是不相等的。

Answer 3

|向量PF1+向量PF2|≤|向量PF1|+|向量PF2|

追问

O(∩_∩)O谢谢，请问|向量PF1+向量PF2|≤|向量PF1|+|向量PF2| 原因是？

追答

|向量PF1|+|向量PF2| 这个就相当于向量PF1与向量PF2垂直
|向量PF1+向量PF2|这个就相当于两个向量的夹角在0到180之间

Answer 4

不一定相等，|向量PF1+向量PF2|是指的两个向量和的长度，|向量PF1|+|向量PF2|指的是两个向量的长度的和。
如果两个向量的方向相同，二者是相等的，如果两个向量有一定的夹角，前者小于后者。总的来说： |向量PF1+向量PF2| ≤ |向量PF1|+|向量PF2|

追问

O(∩_∩)O谢谢，我只知道 |向量PF1*向量PF2| ≤ |向量PF1|*|向量PF2| ，（这要考虑夹角），可是对于 |向量PF1+向量PF2| 与|向量PF1|+|向量PF2| ，计算的时候，也要考虑夹角吗，不是直接相加就可以了吗？这是鄙人的愚见，请问我哪里理解错了？

追答

|向量PF1+向量PF2| 计算的时候是要考虑夹角的。
|向量PF1|+|向量PF2|是不用的，就是单纯两个向量长度的和。
三者之间的关系就相当于一个 平行四边形PF1QF2
|向量PF1+向量PF2| =PQ的长度，因为向量PF1+向量PF2=向量PQ
|向量PF1|=边PF1的长度
|向量PF2|=边PF2的长度

Answer 5

不一定相等。这个是高中的问题，而且老师肯定讲过的。我现在是大学了。你为什么不问问自己班同学啊。
向量：具有方向性。 加上绝对值：为正。 加上绝对值和上面的箭头：表示模，有长度的。
你好像少加了吧，不过也一样。
也就是说：前者是线段方向加和等于线段再算长度，后者是长度和。（书上有公式，自己看书最能懂，我也有一点模糊，但不错）
例如：
|PF1+PF2|=|ab+bc|=|ac| （|ac|是长度，接着算就行了）
|PF1|+|PF2|=1+2=3
我语气好像不好啊，不是针对你啊，无心的。加油啊。

Answer 6

|向量PF1+向量PF2| 意思是先求两个向量的和，然后再求和的模

|向量PF1|+|向量PF2| 意思是先分别算出两个向量的模，蓦地和为最终结果