求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点(-2,-1,1)处的切线及法平面方程。

zssasa1991
2012-05-31 · TA获得超过4274个赞
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x^2-y^2=3 (1)
x^2+y^2-z^2=4 (2)
(1)(2)分别对x求导:
2x-2ydy/dx=0
2x+2ydy/dx-2zdz/dx=0
所以:dy/dx=x/y
dz/dx=2x/z
所以dy/dx |(-2,-1,1)=2 dz/dx |(-2,-1,1)=-4
所以切线方程是:(x+2)/1=(y+1)/2=(z-1)/-4
法平面方程是:(x+2)*1+(y+1)*2+(z-1)*(-4)=0
就是x+2y-4z+8=0
苡瞳_枭儿
2012-05-31 · TA获得超过205个赞
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Z=X2-Z2 且切平面过(3,5,4)
Z'x=2X =6 ,在Y= 5这个平面(Z-X)上导数为6,
∴可以得到一条切线,方向向量可以是(1,0,6),且过切点(3,5,4)
Z'y=2Y=10,在X= 5这个平面(Z-Y)上导数为10,
∴可以得到另一条切线,方向向量可以是(0,1,10),且过切点(3,5,4)
最后,根据这两条切线方程,可以算出平面方程了
答案是:(X-3)/6=(Y-4)/10=5-Z

当然也可以用公式:曲面Z=F(X,Y)在点(a,b,c)处的切面方程是:
(X-a)/-Z'x(a,b)=(Y-b)/-Z'y(a,b)=(Z-c)
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