Question

设四元线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩r（A）=3，η1，η2，η3均为此方程组的解，且η1+η2=(2,0,4,6)T

且η1+η2=(2,0,4,6)T,η2+η3=(1,-2,1,2)T, 则方程组AX=b的通解为？

Answer 1

AX=b为四元线性方程组，其系数矩阵A的秩r(A)=3
所以其解中所含的向量个数为4-3=1个，

η1+η2=(2,0,4,6)T，η2+η3=(1,-2,1,2)T
所以η1-η3=η1+η2 - (η2+η3)=(1,2,3,4)T

而A(η1-η3)=b-b=0，
故η1-η3=(1,2,3,4)T 是齐次方程Ax=0的解向量，

又A(η1+η2)=Aη1+Aη2=2b，
故(η1+η2)/2是Ax=b的特解，
即(η1+η2)/2=(1,0,2,3)T为Ax=b的特解，

所以方程组AX=b的通解为：
x=(1,0,2,3)T + k (1,2,3,4)T 其中k为常数