Question

已知直线直线y=-根号3/3x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角△ABC∠BAC=90

已知直线直线y=-根号3/3x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角△ABC∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中一动点.
当△ABC=S△ABP 时，求实数a的值.

Answer 1

解：如图，根据题意，P点有两种可能P1和P21、 先求P1点的a根据y=-[(√3)/3]x+1得：A点的坐标为（√3，0）、B点的坐标为（0，1）∴OB=1、OA=√3AB=√(OB^2+OA^2)=2=AC∵∠BAC=90°∴三角形ABC的面积=(1/2)AB×AC=2三角形ABP1的面积=梯形AODP1的面积+三角形AOB的面积－三角形BDP1的面积=三角形ABC的面积∵DP1=1、OA=√3、OD=a、OB=1、DB=OD+OB=a+1∴S△ABP1=(1/2)(DP1+OA)×OD+(1/2)OA×OB－(1/2)DP1×DB=（1/2）AB×AC∴(1/2)（1+√3）×a+(1/2) √3×1－(1/2) ×1×(a+1)= （1/2）×2×2解得：a=(1/3)[(5√3)-3]∵P1在第四象限∴a=-(1/3)[(5√3)-3]2、 求P2点的a三角形ABP2的面积=梯形AOEP2的面积－三角形AOB的面积－三角形BEP2的面积=三角形ABC的面积∵EP2=1、OA=√3、OB=1、OE=a、BE=OE-OB=a-1∴S△ABP2=（1/2）（EP2+OA）×OE－（1/2）OA×OB－（1/2）EP2×BE=（1/2）AB×AC即：（1/2）（1+√3）a－（1/2）×√3×1－（1/2）×1×(a-1) =（1/2）×2×2解得：a=(√3)+1∴实数a的值为-(1/3)[(5√3)-3]或(√3)+1