Question

在公比为整数的等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么该数列的前8项之和为多少？

Answer 1

a1+a4=a1(1+q³)=18 (1)
a2+a3=a1(q+q²)=12 (2)
(1)/(2)
(1+q³)/(q+q²)=18/12
整理，得
2q³-3q²-3q+2=0
2q³-4q²+q^2-2q-q+2=0
2q²(q-2)+q(q-2)-(q-2)=0
(q-2)(2q²+q-1)=0
(q-2)(q+1)(2q-1)=0
q=2或q=-1或q=1/2
q=-1时，a2+a3=a2(1+q)=0≠12，与已知矛盾，舍去；q=1/2时，不是整数，与已知矛盾舍去。
因此q=2
a2+a3=a1(q+q²)=a1(2+4)=6a1=12
a1=2
S8=a1(q^8 -1)/(q-1)=2×(2^8 -1)/(2-1)=2^9 -2=512-2=510