Question

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．

Answer 1

证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．

Answer 2

解答（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．（2分）
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．（3分）
在△ACE和△BCD中
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC​
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．（5分）

（2）解：又∠BAC=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形（8分）
∴DE=
AE2+AD2
=
122+52
=13．（10分）
分析：（1）根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以 点评：△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE长度．
本题第一问利用边角边定理证明三角形全等，第二问利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．

Answer 3

证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．

（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．

Answer 4

(1):
∵∠ACB=∠ECD=90;
∠DCB=∠ACB-∠ACD;
∠ACE=∠ECD-∠ACE;
∴∠DCB=∠ACE;
△ACB和△ECD都是等腰直角三角形；
∴CB=CA;CD=CE;
∴△ACE全等△BCD(SAS);
(2);
∵△ACE全等△BCD(SAS);
∴∠CAE=∠DBC=45°；BD=AE;
∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°；
DE^2=AD^2+AE^2
∴AD^2+DB^2=DE^2