Question

已知实数x,y满足(x+2y+1)(x-y+4)小于等于零。求z=x平方+y平方的最小值及取得最小值

Answer 1

本题可利用线性规划思想。
先作出(x+2y+1)(x-y+4)小于等于零 的区域。在坐标系左方的上下对角区域（你自己画下，我就不画了）。而z=x平方+y平方 表示的是（x,y）到原点距离的平方。
显然由图可以看出，最小值是原点到x+2y+1=0的距离的平方。距离=1/根号5 ,那么Z=1/5
此时，x=-1/5 y=-2/5
若有不理解的可以继续追问。。。

Answer 2

∵已知实数x,y满足(x+2y+1)(x-y+4)小于等于零。
∴x+y≦-1 x-y≧-4
或x+y≧-1 x-y≦-4
∴0≦﹙x+y﹚²≦1 ﹙x-y﹚²≧16 ①
或﹙x+y﹚²≧1 0≦﹙x-y﹚²≦16 ②
∴z=x²+y²=[﹙x+y﹚²+﹙x-y﹚²]/2
由①z最小值﹙=8﹚时﹙x+y﹚² =0 ﹙x-y﹚²=16 x=±2 y=-x=-﹙±2﹚
由②z最小值﹙=1/2﹚时﹙x+y﹚² =1 ﹙x-y﹚²=0 x= y=±1/2
∴ z最小值﹙=1/2﹚时﹙x+y﹚² =1 ﹙x-y﹚²=0 x= y=±1/2