Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1
设a<-1如果对任意x1、x2属于0到正无穷，都有|f(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|
求a的取值范围

Answer 1

解：原函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 ，已知：a<-1，不妨设x1>x2,且x>0。
原函数的导函数f'(x)=(a+1)/x +2ax。因为a<-1,x>0 得：
f'(x)<0，所以原函数为减函数，即f(x2)-f(x1)>0
对于不等式|f(x1)-f(x2)|>=4|x1-x2|来说，从几何的意义来理解，就是在x的定义域里，函数在
点x2上切线的斜率小于等于-4。绝对值的变换如下：
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|>=4,即：[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<=-4
根据导数的定义，以上不等式的含义为：在x定义域里，对原函数的导函数的值应小于等于-4。
得：f'(x)<=-4, 即 (a+1)/x+2ax<=-4,化简得：
2ax^2+4x+(a+1)<=0
由于a<0, 令u=2ax^2+4x+(a+1), 则函数u 是开口向下的二次抛物线函数，当x=-1/a时，函数u取
到极大值，（也是最大值）。由判别式得：4^2-4*2a*(a+1)<=0,不等式 2ax^2+4x+(a+1)<=0
恒成立，即：2-a^2-a<=0 , 即（a+2)(a-1)>=0,
所以有：a<=-2,或a>=1。a>=1与已知条件不符，舍去。
综合以上：a的取值范围为：a<=-2。