Question

已知函数f(x)=（a+1）lnx+ax^2+1,求f（x）单调性

参考答案是：f(x)=（a+1)lnx+ax^2+1
得到定义域：x>0
求导：f’(x)=(a+1)/ x+2ax

当a≥0时，f’(x) >0,则f(x)单调递增
当a≤-1时，f’(x) <0，则f(x)单调递减
当-1<a<0时：另f‘（x）=0
......

我想问是为什么要分成a>=0，a<=-1，-1<a<0三类？是如何找到突破口？

Answer 1

f’(x)=(a+1)/ x+2ax
=（2ax²+a+1)/x
分子g(x)=2ax²+a+1形式上为二次型
但x²系数可能为0，不一定为二次

形二次问题讨论我是如下进行的
突破口一：问次 ， a=0, a≠0
突破口二：问口， 开口朝上，还是朝下a>0,a<0
突破口三：问根， 有根没根，根的大小，根与定义域关系

对于本题
问次 a=0时，f'(x)=1/x>0
问口，a>0时，g(x)=2ax²+a+1开口朝上，无根，f'(x)>0
a<0时，g(x)=2ax²+a+1开口朝下，2ax²+a+1=0
有根的条件为a+1>0,关键值a=-1
所以本题a有2个关键值0,-1，
你分成三类，也可以四类，五类。

Answer 2

a=0, a≠0
开口朝上，还是朝下a>0,a<0
有根没根，根的大小，根与定义域关系