Question

设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x，f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线

y=f（x）在原点（0,0）处的切线方程为y=0，且经过点（e-1，e^2-e+1）
(1) 求y=f（x）表达式，并证明：当x》0时，g（x）》0
(2) 若当x》0时，f（x）》mx^2恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=a(x+1)²ln(x+1)+bx
     f'(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b
     f'(0)=a+b=0
        得 a=-b
     f(x)经过点（e-1，e^2-e+1）
     则 e²-e+1=ae²+b(e-1)
                    =a(e²-e+1)
    得 a=1，b=-1
     f(x)=(x+1)²ln(x+1)-x
     g(x)=(x+1)ln(x+1)-x
     g'(x)=ln(x+1)+1-1=ln(x+1)
     当 x>0时 g'(x)>0    g(x)单调增
         g(0)=0  则 x>0时 g(x)≥0

(2) t(x)=f(x)-mx²≥0
      t(0)=0
     f'(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b-2mx

回答

t'(x)=2(x+1)ln(x+1)+(x+1)-1-2mx
      =2(x+1)[1+ln(x+1)]-1-2mx
      ≥2(x+1)-1-2mx  (x≥0)
        =(2-m)x-1>0        (说明：t'(x)>0  t(x)为单调增，t(0)=0  则当x≥0时 t(x)≥0成立）
      即 (2-m)x>1
     当 2-m>0时 x≥0
     故 m<2

 

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