Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2ax^2+bx(a≠0)

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(1/2)ax^2＋bx，a≠0.
1.若a=-2，函数h（x）=f（x）-g（x）
在其定义域上是增函数，求b取值范围
在1.的结论下，设函数Φ（x）
=x^2+bx，x∈[1,2]，求函数Φ（x）最小值

Answer 1

1.若a=-2，则h(x)=lnx+x²-bx
因为 h(x)在定义域内是增函数
所以 h'(x)=1/x+2x-b>=0 在（0，+∞） 恒成立
所以 b<=1/x+2x 恒成立
所以b 小于 1/x+2x 的最小值
因为 1/x+2x>=2√2(均值不等式)
所以 b<=2√2
2.Φ(x)=x²+bx
所以 Φ'(x)=2x+b
Φ'(x)=0时 x=-b/2
因为 x∈[1,2]
所以 当-2<b<=2√2 时 Φ'(x)>0 恒成立 Φ(x)在定义域内单增 最小值为Φ(1)=2+b
当-4<b<=-2时 Φ(x)在定义域内 最小值为 Φ（-b/2）=3b²/4
当 b<=-4时 Φ(x)在定义域内最小值为 Φ(2)=4+2b