Question

为什么原函数与其反函数的图象关于y=x对称。

Answer 1

求反函数就是令x和y对调之后求出的反函数，所以说原函数与其反函数的图象关于y=x对称。

证明过程：

设平面任意-点（x，y） ，关于y= x对称点为（a，b）

由于中点在y=x上

故（x+a） /2= （y+b） /2①；

同时过(x，y) ，（a，b）两点的直线和y=x垂直，故

（b-y）/（a- x）=-1②

由①②，可解得a=y，b= x。证毕，所以说原函数与其反函数的图象关于y=x对称。

扩展资料：

反函数的性质：

1、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

3、大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f（x）， 定义域是{0} 且 f（x）=C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

4、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。

5、严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。

6、反函数是相互的且具有唯一性。

7、定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。

参考资料来源：百度百科-反函数

Answer 2

原函数的定义域是其反函数的值域，其值域是其反函数的定义域，在函数与其原函数的变换中是交换X,Y
当X=Y时，函数值相等所以原函数于反函数关于Y=X对称

Answer 3

设f(x)的反函数是f-1(x),在f(x)上任取一点p(a,b),则p关于直线y=x的对称点p'坐标为(b,a)
p'正好在f-1(x)上,所以原函数的图像与反函数的图像关于直线y=x轴对称.

Answer 4

求解某函数的反函数的步骤：倒解X，互换X,Y,
求值域定义域。
而互换X,Y相当于将坐标系先顺时针旋转90度再从背面透视，所以图像关于y=x对称

Answer 5

函数y=f(x)的反函数就是x=f(y)通过化简而得到的,他们的图象当然关于y=x对称