Question

求解一道相似矩阵的题

如图，学渣啥也不会，求学霸解答详细点

Answer 1

"为什么与A有相同特征值就一定与A相似"
这个结论一般不正确, 正如[评注]所给的反例一样, 特征值相同不一定相似.

但是, 若再添加个条件就可以了:
若A,B都与对角矩阵相似, 且它们的特征值相同, 则A与B相似.

若A与对角矩阵相似, 可以证明:对角矩阵主对角元上的数都是A的特征值.
所以, A,B 相似于同一个对角矩阵.
即有 P^-1AP = Q^-1BQ.
所以有 (PQ^-1)^-1 A (PQ^-1) = B
即 A 与 B 相似.

Answer 2

"为什么与A有相同特征值就一定与A相似"
这个结论一般不正确, 正如[评注]所给的反例一样, 特征值相同不一定相似.

但是, 若再添加个条件就可以了:
若A,B都与对角矩阵相似, 且它们的特征值相同, 则A与B相似.

若A与对角矩阵相似, 可以证明:对角矩阵主对角元上的数都是A的特征值.
所以, A,B 相似于同一个对角矩阵.
即有 P^-1AP = Q^-1BQ.
所以有 (PQ^-1)^-1 A (PQ^-1) = B
即 A 与 B 相似.

Answer 3

选B
利用矩阵相似的性质。
1、相似矩阵有相等的迹（即主对角线上的元素之和相等）可得a=0
2、相似的矩阵有相等的行列式，可求得
b=2。

Answer 4

设这3个特征向量组成矩阵P,则P^(-1)AP=diag(1,0,-1) 则A=Pdiag(1,0,-1)P^(-1) A^11=(PΛP^(-1))^11=PΛ^11P^(-1)=PΛP^(-1)=A本身