Question

锥面z= √x^2+y^ 2与半球面 z= √ 1-x^2-y^ 2

Answer 1

两个办法：一个是用积分，一个是用立体角
①用积分
用球面坐标，设半径r与z轴夹角为φ，r在xoy平面上投影与x轴夹角为θ
则积分区域为：0≤r≤1，0≤φ≤π/4，0≤θ≤2π
两曲面所围成立体体积为
v=∫dv=∫∫∫dxdydz=∫∫∫r²sinφdrdφdθ
=∫<0,1>r²dr*∫<0,π/4>sinφdφ*∫<0,2π>dθ
=1/3*[<0,π/4>-cosφ]*2π
=2π/3*(1-√2/2)
②用立体角
圆锥z=√(x²+y²)顶角为π/2
半球z=√[1-(x²+y²)]为单位球，半径为1
顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠，即ω=2π(1-cosθ)
∴上述圆锥的立体角为ω=2π[1-cos(π/4)]=2π(1-√2/2)
半球立体角为2π，体积为2πr³/3=2π/3
圆锥立体角为2π(1-√2/2)，体积为v
锥体体积与对应立体角成正比，则有
v/(2π/3)=[2π(1-√2/2)]/(2π)
解得
v=2π/3*(1-√2/2)

Answer 2

令R=1即可，答案如图所示