求锥面z= √x^2+y^ 2与半球面 z= √ 1-x^2-y^ 2所围成的立体的体积

hrcren
2013-07-08 · TA获得超过1.8万个赞
知道大有可为答主
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两个办法:一个是用积分,一个是用立体角
①用积分
用球面坐标,设半径r与z轴夹角为φ,r在XOY平面上投影与x轴夹角为θ
则积分区域为:0≤r≤1,0≤φ≤π/4,0≤θ≤2π
两曲面所围成立体体积为
V=∫dV=∫∫∫dxdydz=∫∫∫r²sinφdrdφdθ
=∫<0,1>r²dr*∫<0,π/4>sinφdφ*∫<0,2π>dθ
=1/3*[<0,π/4>-cosφ]*2π
=2π/3*(1-√2/2)
②用立体角
圆锥z=√(x²+y²)顶角为π/2
半球z=√[1-(x²+y²)]为单位球,半径为1
顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠,即Ω=2π(1-cosθ)
∴上述圆锥的立体角为Ω=2π[1-cos(π/4)]=2π(1-√2/2)
半球立体角为2π,体积为2πr³/3=2π/3
圆锥立体角为2π(1-√2/2),体积为V
锥体体积与对应立体角成正比,则有 V/(2π/3)=[2π(1-√2/2)]/(2π)
解得 V=2π/3*(1-√2/2)
WU363975637
2013-07-07
知道答主
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立体图形是个圆锥将两的代数带去算,剩下的不用我交你,自已去想
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