Question

已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b (a,b属于R),若函数f(x)在区间（-1，1）上单调，求a的取值范围

Answer 1

（1）f(x)=x³+(1-a)x²-a(a+2)x+b
在(-1,1)上不单调，说明导函数f'(x)在区间(-1,1)内存在零点。
求导：f'(x)=3x²+2(1-a)x-a²-2a
所以：f(-1)*f(1)=(3-2+2a-a²-2a)(3+2-2a-a²-2a)<0
即：(a²-1)(a²+4a-5)<0
所以：(a-1)(a+1)(a-1)(a+5)<0
所以：(a+1)(a+5)<0
所以：-5<a<-1

（2）f(x)在区间(-1,1)上单调，则表明导函数f'(x)在区间(-1,1)上无零点。
抛物线f'(x)=3x²+2(1-a)x-a²-2a=(x-a)[3x+(a+2)] 开口向上，
零点x1=a，x2=-(a+2)/3
所以：两个零点不在区间（-1,1）之内
2.1）x1=a<=-1，x2=-(a+2)/3<=-1，无解；
2.2）x1=a<=-1，x2=-(a+2)/3>=1，解得：a<=-5；
2.3）x1=a>=1，x2=-(a+2)/3>=1，无解；
2.4）x1=a>=1，x2=-(a+2)/3<=-1，解得：a>=1
综上所述，a<=-5或者a<=1时，f(x)在区间(-1,1)上单调。

追问

不用讨论两个根的大小吗