Question

高中数学数列题求解。

数列an前N项为Sn满足Sn=n²+n.
1.求an通项公式
2.令bn=(n+1)/(n+2)²an² 数列bn前N项和为Tn，证明Tn小于5/64

Answer 1

解答：
一、
Sn=n²+n
（1）n=1时，
a1=S1=1+1=2
（2）n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=n²+n-(n-1)²-(n-1)=2n
n=1时也满足
∴ an=2n

二、
bn=(n+1)/[(n+2)²*(2n)²]=[4(n+1)/16]/[(n+2)²*n²]=(1/16)*[1/n² -1/(n+2)²]
∴ Tn=(1/16)*[1/1-1/9+1/4-1/16+......+1/(n-1)²-1/(n+1)²+1/n² -1/(n+2)²]
=(1/16)[1+1/4-1/(n+1)²-1/(n+2)²]
<(1/16)*(5/4)
=5/64
∴ 不等式成立。