Question

设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时，0<f(x)<1,证明

Answer 1

证明：
(1)令x=y=0，则
f(0)=f(0)f(0)
∴f(0)=0或f(0)=1
∵f(x)在x∈R上是正的
∴f(0)=1
令y=-x，则
f(x-x)=f(x)f(-x)
∴f(-x)=1/f(x)，或者f(x)=-f(-x)
当x＜0时，f(x)=-f(-x)
而-x＞0，即f(-x)∈(0,1)
∴f(x)=-f(-x)＞1
得证
(2)任意取m＞n，由于是函数的值是正数
∴f(m)/f(n)=f(m-n)
∵m-n＞0
∴f(m-n)∈(0,1)
即0＜f(m)/f(n)＜1
∴0＜f(m)＜f(n)
∴f(x)是R上的减函数
得证
祝愉快！