Question

设f(x）是定义在R上的函数,且对于任意X,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(

设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y属于R,恒有f(x+y)=f(x)f(y)，且x>0时，0<f(x)<1,证明， 2011-7-12 20:21 提问者： Chun寳
| 浏览次数：2726次1，f(0)=1且x<0时有f(x)>1
2，判断f(x)在R上的单调性
3，设A={(X,Y)|f(x^2)f(y^2)>f(1)},抽象函数的具体函数的模型B={(x,y)|f(ax-y+2)=1},a属于R，若A交B为空集，求a

Answer 1

（1）设x>0,y=1,代入恒等式，有f(x)=f(x)f(0)>0,(由已知x>0时，0<f(x)<1得到），所以f(0)=1
又假设x<0,y=-x>0,代入恒等式，f(0)=f(x)f(-x)=1
因为-x>0,f(-x)∈(0,1)所以x<0时,f(x)=1/f(-x)>1故f(x)>0对所有x恒成立。
(2)令y=-x，则f(0)=f(x)f(-x)=1>0且x>=0时，f(x)>0(第一问证明得)，所以f(x)=1/f(-x)
设x1,x2∈R,x1<x2=x1+a （a>0）则f(x1)-f(x2)=1/f(-x1)1/f(-x2)=[f(-x1-a)-f(-x1)]/[f(-x1)f(-x2)]
==[f(-x1)f(-a)-f(-x1)]/[f(-x1)f(-x2)]=)=f(-x1)[f(-a)-1]/[f(-x1)f(-x2)]
因为f(x)>0恒成立，且-a<时，f(-a)>1。所以f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),R上的递减函数
（3）A={（x,y）Ix^2+y^2<1},B={（x,y）Iax-y+2=0}通过画图讨论a=0和a不等于0的斜率画出A中圆的切线即可看出a所有取值