Question

过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则 向量OA•向量OB =？？

Answer 1

过抛物线y²=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则 向量OA•向量OB =？？
解：抛物线参数：2p=4，p=2，p/2=1，故焦点F(1，0)；设过焦点的直线的方程为y=k(x-1)；代入抛物线方程得k²(x-1)²=4x，即有k²x²-2(k²+2)x+k²=0；设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；依维达定理有
x₁+x₂=2(k²+2)/k²；
x₁x₂=1；
y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2k=2(k²+2)/k-2k=4/k；
y₁y₂=(kx₁-k)(kx₂-k)=k²x₁x₂-k²(x₁+x₂)+k²=k²-2(k²+2)+k²=-4；
故OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=1-4=-3.

Answer 2

答案-3

分析：由抛物线y²=4x与过其焦点（
1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答：解：由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（
1，0），∴直线AB的方程为y=k（x-1），
由 y2＝4xy＝k(x−1)得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
x1+x2＝2k2+ 4k2，x1•x2＝1，y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
∴OA•OB=x₁•x₂+y₁•y₂=1+k2(2−2k2+4k2) ＝−3，
故答案为：-3．

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示