Question

求对坐标的曲面积分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧

Answer 1

这是第二型曲面积分，曲面的显示表达式为z＝－根号(R^2－x^2－y^2)
法向量的第三个分量是－1，记D为x^2+y^2<=R^2，于是
原积分＝二重积分_(D) x^2*y^2*(－根号(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy
注意上式最后一个－1是因为求的是下侧。
用极坐标x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式为r，
＝积分（从0到R）dr 积分（从0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根号(R^2－r^2)rda
关于a的积分＝积分（从0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。
关于r的积分在做变量替换r＝sina，0<=a<=pi/2，
化为积分（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada
=1/3－2/5+1/7＝8/105，最后得
＝2pi/105。

追问

（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada 这个部分是怎么计算的呢，

追答

令cosa＝t，a＝0对应t＝1，a＝pi/2对应t＝0，cos^2a=t^2，sin^4a=(1－t^2)^2，
sinada＝－dt，故这个积分
＝积分（从0到1）(1－t^2)^2*t^2dt
＝积分（从0到1）(t^2－2t^4+t^6)dt
＝8/105