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若a,b,c为实数,2x^+2*(a-c)*x+(a-b)^-(b-c)^=0有两相等实数根,求证a+c=2*b
2个回答
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原题中是否是+(b-c)^2而不是-
有两个相等的实数根,则:
(2*(a-c))^2-4*2*((a-b)^2+(b-c)^2)=0
(a-c)^2-2(a-b)^2-2(b-c)^2=0
由于a-c=(a-b)+(b-c),所以(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)*(b-c),如果令m=a-b,n=b-c
原等式左边=n^2+2mn+m^2=(n-m)^2=0,有m=n,即a-b=b-c,所以a+c=2b
有两个相等的实数根,则:
(2*(a-c))^2-4*2*((a-b)^2+(b-c)^2)=0
(a-c)^2-2(a-b)^2-2(b-c)^2=0
由于a-c=(a-b)+(b-c),所以(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)*(b-c),如果令m=a-b,n=b-c
原等式左边=n^2+2mn+m^2=(n-m)^2=0,有m=n,即a-b=b-c,所以a+c=2b
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2x^2+2(a-c)x+(a-b)^2+(b-c)^2=0
由两个相等的实数根得
4(a-c)^2-8((a-b)^2+(b-c)^2)=0
(a-c)^2-2(a-b)^2-2(b-c)^2=0
a^2-2ac+c^2-2a^2+4ab-2b^2-2b^2+4bc-2c^2=0
-a^2-2ac+4ab-4b^2+4bc-c^2=0
a^2+4b^2+c^2+2ac-4ab-4bc=0
(a-2b+c)^2=0
故得a-2b+c=0,
所以a+c=2b
由两个相等的实数根得
4(a-c)^2-8((a-b)^2+(b-c)^2)=0
(a-c)^2-2(a-b)^2-2(b-c)^2=0
a^2-2ac+c^2-2a^2+4ab-2b^2-2b^2+4bc-2c^2=0
-a^2-2ac+4ab-4b^2+4bc-c^2=0
a^2+4b^2+c^2+2ac-4ab-4bc=0
(a-2b+c)^2=0
故得a-2b+c=0,
所以a+c=2b
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