Question

在平面直角坐标系中,已知点Po的坐标为(1,0),将p0绕原点按逆时针方向旋转45度，再将其长度伸长为OP

在平面直角坐标系中,已知点Po的坐标为(1,0),将p0绕原点按逆时针方向旋转45度，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1，又将线段OP1按逆时针方向旋转45度，长度伸长到OP1的2被，得到OP2……………………如此下去，则点P2012坐标是？ 点Pn呢？

Answer 1

我们先看每条射线的长度：
每旋转45°后变为原来的2倍，
N=0时，长度为1
N=1时，长度为2
N=2时，长度为4
N=3时，长度为8
。。。
N=N时，长度为2的N次方

再来看方向：
每一次转动45°，转完整个一周共8次，
所以
N=0,8,16,24，...时，射线落在X正半轴上
N=1,9,17,25，...时，射线落在第一象限的平分线上（即转45°）
N=2,10,18,26，。。。时，落在Y正半轴上（即转90°）
N=3,11,19,27....时，落在第二象限平分线上（即转135°）
N=4,12,20,28，...时，落在X负半轴上（即转180°）
。。
依次类推
N=7,15,23，...时，落在第四象限平分线上（即转315°）

当落在坐标轴上时，各坐标为：
X正轴：（长度，0）
45°时：（长度/根号2，长度/根号2）
90°时：（0，长度）
135°时：（-长度/根号2，长度/根号2）
180°时：（-长度，0）
225°时：（-长度/根号2，长度/根号2）
270°时：（0，-长度）
315°时：（长度/根号2，-长度/根号2）
360°时：（长度，0）

所以P2012，N=2012，长度为2的2012次方，
2012除以8的余数是4，所以落在X负半轴，
所以坐标为（-2的2012次方，0）

对于Pn,就按照我上面写的推