Question

二次函数中三角形的面积最大问题？

Answer 1

抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A(1，0)，B(-3，0)两点，与y轴交于C点；
(1)求抛物线的解析式；
(2)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使三角形PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及三角形PBC的面积最大值。若没有，请说明理由。
解：(1)由韦达定理易知：1+(-3)=-b/(-1)、(-1)×(-3)=c，
即b=-2、c=3，则y=-x²-2x+3；
(2)点B(-3，0)和点C(0，3)，则易知BC=3√2；
{提示：那么P点到直线BC的距离即是三角形PBC边BC上的高h，
BC距离确定，只要h越大，其面积就越大。
P点的找法是：用与BC平行的直线还在第二象限的抛物线上的前提下，
离BC越远h越大，很显然P点就是在与BC平行的直线与抛物线有且只有一个的那个交点。}
直线BC的直线直线方程为y=x+3，则设与BC平行的直线为y=x+k，
它与抛物线y=-x²-2x+3有且只有一个交点；
联立，消去y得：x²+3x+(k-3)=0，该方程有且只有一个根，
则△=3²-4×1×(k-3)=0，解得k=21/4；
则x²+3x+(9/4)=0，解得x=-3/2；则y=15/4；
即P(-3/2，15/4)距直线BC的距离为
h=|1×(-3/2)-(-1)×(15/4)+3|/√(1²+(-1)²)=9√2/8；
则S△PBC=BC×h/2=3√2×(9√2/8)/2=27/8。

Answer 2

将a，b两点带入解析式
-1+b+c=0
-9-3b+c=0
解得
b=-2
,c=3
解析式为
y=-x²-2x+3
（2）
函数
y=-x²-2x+3
图像
开口向下
对称轴为x=-1
顶点为（-1，4）在第二象限
由三角形面积公式
s=底x高/2
可以知道
当在y=-x²-2x+3中
的顶点时
三角形abc
，ab上的高最大为4
所以
此时
三角形abc面积最大
为8