Question

规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C0x=...

规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广． （1）求C3-15的值； （2）设x＞0，当x为何值时，C3x(C1x)2取得最小值？ （3）组合数的两个性质；①Cmn=Cn-mn；②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．是否都能推广到Cmx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可得
C3-15=(-15)(-16)(-17)3!=-680．（4分）
（2）C3x(C1x)2=x(x-1)(x-2)6x2=16(x+2x-3)．（6分）
∵x＞0，故有
x+2x≥22．
当且仅当x=2时，等号成立．∴当x=2时，C3x(C1x)2取得最小值．（8分）
（3）性质①不能推广，例如当x=2时，C12有定义，但C2-12无意义； （10分）
性质②能推广，它的推广形式是Cmx+Cm-1x=Cmx+1，x∈R，m是正整数．（12分）
事实上，当m=1时，有C1x+C0x=x+1=C1x+1．
当m≥2时.Cmx+Cm-1x=x(x-1)…(x-m+1)m!+x(x-1)…(x-m-2)(m-1)!
=x(x-1)…(x-m+2)(m-1)![x-m+1m+1]=x(x-1)…(x-m+2)(x+1)m !=Cmx+1．（14分）