Question

规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一

规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C-153的值；（2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn-m；②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m∈N*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．（3）已知组合数Cnm是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．

Answer 1

（1）由题意C_-15³=

-15×(-16)×(-17)

3!

=-C₁₇³=-680   …（4分）
（2）性质①C_n^m=C_n^n-m不能推广，例如x=

2

时，

C

1 2

有定义，但

C

2 -1 2

无意义；
性质②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m 能推广，它的推广形式为C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，x∈R，m∈N^*
证明如下：当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹；   …（1分）
当m≥2时，有C_x^m+C_x^m-1=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

=

x(x-1)…(x-m+2)

(m-1)!

×(

(x-m+1)

m

+1)=

x(x-1)…(x-m+1)(x+1)

m!

=C_x+1^m，（6分）
（3）由题意，x∈Z，m是正整数时
当x≥m时，组合数C_x^m∈z成立；
当0≤x＜m 时，

C

m x

=

x(x-1)(x-2)???0???(x-m+1)

m!

=0∈Z，结论也成立；
当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴C_x^m=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

=（-1）^m

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

m!

=（-1）^mC_-x+m-1^m∈z（7分）
综上所述当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z