Question

高三数列难题

Answer 1

解：S(n)=(-1)^n*a(n)-1/2^n ①
S(n-1)=(-1)^(n-1)*a(n-1) -1/2^(n-1)② （要求n≥2）
①-②得
a(n)=(-1)^n*a(n)-1/2^n-[(-1)^(n-1)*a(n-1) -1/2^(n-1)]
=(-1)^n*a(n)+(-1)^n*a(n-1) +1/2^n ③ （要求n≥2）
对③式，取n=2k,k∈N+时，有
a(2k)=a(2k)+a(2k-1)+1/2^(2k)
得a(2k-1)=-1/2^(2k) ④
（需验算a1=-1/4。①式中令n=1，显然得a1=-1/4成立）
故a3=-1/2^(2*2)=-1/16
对③式，取n=2k+1,k∈N+时，有
a(2k+1)=-a(2k+1)-a(2k)+1/2^(2k+1)
得
a(2k)=-2a(2k+1)+1/2^(2k+1)
上式结合④得
a(2k)=-2*(-1)/2^(2k+2)+1/2^(2k+1)=1/2^(2k) ⑤
综合④⑤知
k∈N+时，有：
a(2k-1)=-1/2^(2k)
a(2k)=1/2^(2k)
显然，和式
S(2k-1)=(a1+a2)+(a3+a4)+……+a(2k-1)=a(2k-1)=-1/2^(2k)
S(2k)=0
故
S1+S2+……+S100=a1+a3+a5+……+a99
=-1/2^(2*1)-1/2^(2*2)……-1/2^(2*50)
=-1/2^2*[1-(1/2^2)^50]/(1-1/2^2)
=-(1-1/2^100)/3≈1/3
不明白请追问。