Question

请教高手权威奥特曼:常微分方程中1/X的积分绝对值问题

我就郁闷了,看了那么多的回复和评论,怎么还没弄明白常微分方程中1/X类形的积分到底什么时候能去绝对值啊,看多了也郁闷,别人的说法大致有以下几种:1.是因为常数C的作用,正负号被任意常数C吸收了.2.比较迷信陈文灯的,因为复习指南里有写除非X是负值或特别标名才加绝对值(但还是不太敢这么写)3.应该是加绝对值的,参考书上也加,没写出来是因为中间步骤省略了(我很怀疑)4.因为求的是通解,丢解的情况是允许的,所以不必加了(个人感觉通解丢解不是计算的时候自己丢的吧)..........越看越迷糊,期待强人,我想好多人都有这疑问,谁来告诉我!!!

Answer 1

举一个例子，方程dy/y=dx/x按原来的解法是： 两边积分：ln|y|=ln|x|+C1（这作为方程的通解已经是对的了，不过其形式不够漂亮） 如果我们希望得到显式解，则 |y|=e^[ln|x|+C1]=e^ln|x|*e^C1 ==> y=(±e^C1)*|x|=±(±e^C1)*x 由于C1是任意实数，所以e^C1是任意正实数，±(±e^C1)则是任意的非零实数，我们把它记作C，于是得到这个方程的显式的通解：y=Cx 怪麻烦的吧？由于这种方程经常遇到，每次这样写确实感到麻烦，因此在解微分方程时，如果积分以后得到的函数里有对数函数的项，我们就使用下面的简洁写法： 两边积分：lny=lnx+lnC=ln(Cx)（把绝对值符号省略不写了，任意常数也不是加C，而是加lnC，但这并不意味着x，y，C只能取正值，当然这个式子作为方程的通解是不行的，因为人家看到这个式子，自然会认为y只能取正值的，所以用这种简洁写法，下面的步骤是必须的，即两边同时去掉最外层的“ln”号） 所以最后的通解是：y=Cx 你看，这样写只有两步，简洁多了，并且结果是一样的。 千万记住，最后一步是不可以省略的，否则求得的解就会少了很多。

Answer 2

必须会出啊,常微分方程习题里都有很多关于1/X型的积分题,只是不同的答案书上加不加绝对值号都不一定,我都发现好多这种情况了,我用的是陈文灯的习题解答,有个题目就是,书上的答案有绝对值号,陈的就没加,像这种问题其实很困饶人的,一面是标准,一面是权威,我郁闷了,继续等奥特曼!

Answer 3

看蔡燧林的书，他曾经写过微分方程一本书。所以他是很权威的，绝对值不能随便去掉，要看看自变量的取值范围，这个一时半会说不清楚。建议你看看蔡燧林老师的书吧，以前我也曾经疑惑过，弄懂的话对微分方程很有帮助

Answer 4

这种题不会出的。具体的关于绝对值的问题在五版高数上有，很严谨。真题也有。参考下。