Question

高二数学 函数的单调性与导数 急求

已知函数f（x）=lnx，g（x）=1/2ax²+2x，a≠0.（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调减区间，求a的取值范围；（2）若函数h（x）=f（x）-g（x）[1,4]上单调递减，求a的取值范围。
求y=x√（ax-x²） （a＞0）的单调区间。

Answer 1

h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x)+1-2=ln(x)-1,
0<x<e时,h'(x)<0, h(x)单调递减.
x>e时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

f(x)=ax^2/2 + 2x,
x>=1时,f'(x)=ax+2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a<0时,
f'(x)=ax+2>=0,
ax>=-2,
ax>=-2>=-2x, a>=-2.
a的取值范围是a>=-2.

g(x)/x=ln(x)/x = f'(x)-(2a+1)=ax+2-(2a+1)=ax-2a+1, x>0.
ln(x)=ax^2 +(1-2a)x,
s(x)=ln(x) - ax^2 + (2a - 1)x,
1/e<x<e,a>0.
s'(x)=1/x - 2ax + 2a-1 = [-2ax^2 +(2a-1)x + 1]/x = [-2ax-1][x-1]/x = (2ax+1)(1-x)/x,
1/e<x<1时,s'(x)>0, s(x)单调递增. s(1/e)<s(x)<s(1).s(x)在1/e<x<1上至多有1个实根.
e>x>1时,s'(x)<0, s(x)单调递减. s(1)>s(x)>s(e).s(x)在e>x>1上至多有1个实根.
s(1/e)=-1-a/e^2 + (2a-1)/e = [(2a-1)e-a-e^2]/e^2 = [a^2 - (a-e)^2 - a - e]/e^2 .
s(e)=1-ae^2+(2a-1)e=1-e+ae(2-e)<0.
s(1)=a-1.
要使得s(x)在1/e<x<e上有2个不同的实根,则必须,s(1)>0, s(1/e)<0.
也即,
a>1,
0>(2a-1)e-a-e^2=a(2e-1)-e-e^2,
e+e^2>a(2e-1),
a<(e+e^2)/(2e-1).
(e+e^2)/(2e-1)>(e+e)/(2e-1)>(2e-1)/(2e-1)=1.
1<a<(e+e^2)/(2e-1)时,方程g(x)/x=f'(x)-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根

追问

这是两道题，能麻烦你写清楚一点吗？能麻烦你前面写出题号吗？

追答

我把两道题写一块了，你自己慢慢看吧，我看好你！

追问

可是这真的好乱，麻烦你重新写一下吧，还有中间怎么蹦出来s（x）的？

追答

要知道我答这么多字好累的呀，你慢慢看吧，体谅一下我，给个采纳吧。。。。

追问

可这是错的你让我怎么采纳？我当然体谅

追答

错的？？怎么可能。。。。
绝对是对的！！！