Question

复变函数积分。 有大佬可以帮忙解一下么？

过程详细点，谢谢谢谢

Answer 1

设f(z)=z²/[(z²+a²)(z²+b²)]。显然，f(z)在上半平面有2个一阶极点z1=ai，z2=bi。
根据柯西积分定理，原式=(2πi)∑Res[f(z),zk]，k=1,2。
而，Res[f(z),zk]=lim(z→zk)(z-zk)f(z)=z²/[(z²+a²)(z²+b²)]'丨z=zk)=(1/2)z/(2z²+a²+b²)丨z=zk)。
∴Res[f(z),z1]=(1/2)ai/(b²-a²)，Res[f(z),z2]=(1/2)bi/(a²-b²)。
∴原式=(2πi)(1/2)(ai-bi)/(a²-b²)=π/(a+b)。
供参考。