Question

第3小问！

Answer 1

证明：（Ⅰ）由已知，
PE
PB
=
PF
PC
=λ，
所以EF∥BC．
因为BC∥AD，所以EF∥AD．
而EF平面PAD，AD平面PAD，
所以EF∥平面PAD． …（4分）
（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面PAC，
平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABCD．
所以PA⊥AB，PA⊥AD．
又因为AB⊥AD，
所以PA，AB，AD两两垂直． …（5分）
如图所示，建立空间直角坐标系，
因为AB=BC=1，PA=AD=2，
所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
当λ=
1
2
时，F为PC中点，
所以F（
1
2
，
1
2
，1），
所以
BF
=（-
1
2
，
1
2
，1），
CD
=（-1，1，0）．
设异面直线BF与CD所成的角为θ，
所以cosθ=|cos＜
BF
，
CD
＞|=
|(
1
2
，
1
2
，1)(1，1，0)|
1
4
+
1
4
+1
×
2
=
3
3
，
所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为
3
3
．…（9分）
（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则
PF
=（x0，y0，z0-2），
PC
=（1，1，-2）．
由已知
PF
=λ
PC
，所以（x0，y0，z0-2）=λ（1，1，-2），
所以
x0＝λ
y0＝λ
z0＝22λ
，
∴
AF
=（λ，λ，2-2λ）．
设平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），因为
AD
=（0，2，0），
所以
n1
AF
＝0
n1
AD
＝0
即
λx1+λy1+(22λ)z1＝0
2y1＝0
，
令z1=λ，得n1=（2λ-2，0，λ）．
设平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），
因为
PD
=（0，2，-2），
CD
=（-1，1，0），
所以
n2
PD
＝0
n2
CD
＝0
即
2y22z2＝0
x2+y2＝0

令x2=1，则n2=（1，1，1）．
若平面AFD⊥平面PCD，则n1n2=0，所以（2λ-2）+λ=0，解得λ＝
2
3
．
所以当λ=
2
3
时，平面AFD⊥平面PCD．…（14分）
点评：

追答

看图片吧，图片比较清楚，望采纳哦