Question

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,自AB上任意一点P，作PE⊥BC于点E,PE⊥AC于点F,M为AB的中点。

试说明△MEF是等腰三角形。

Answer 1

因为P是任意点，当点P与点M重合是，∠MFC=∠FCE=∠MEC=90°，又M为AB中点，在∠C的角平分线上，因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以CF=CE，所以矩形FPEC为正方形，所以MF=ME，所以△MEF是等腰三角形。谢谢

Answer 2

∵∠C=90°,AC=BC

∴△ABC是等腰直角三角形

那么：∠A=∠B=45°

连接CM，M是AB中点

那么：CM=AM=BM，∠BCM=45°，即∠ECM=45°

∵PE⊥BC，PE⊥AC，∠C=90°

∴FCEP是矩形，那么PF=CE

△APF是等腰直角三角形，那么AF=PF=CE

∴△AMF和△CEM中：

AF=CE，AM=CM

∠A=∠ECM=45°

∴△AMF和△CEM(SAS)

∴MF=ME

∴△MEF是等腰三角形。