Question

设函数y=f(x)定义在R上，当x＞0时f(x)＞1，且对于任意实数A,B∈R，有f(a+b)=f(a)f(b).

Answer 1

太假了吧？楼主发布有两个小时吗？楼上的还想两个小时，哈哈！！！
证明：（1）由f(a+b)=f(a)f(b)得f（1+0）=f（1）f（0）故f（0）=1
令a+b≥0，则f(a+b)=f(a)·f(b)≥1
当a，b异号时，f（a），f（b）必须同号，假设a＞0
则b＜0
，∵f（a）＞0，故f（b）＞0
当a，b同号时，只能是a，b都＞0,f（a），f（b）均大于0
所以f（x）在R上恒正
（2)第二问的证法和楼上的差不多，我就不说了，省的说我抄袭。
有什么不懂的地方欢迎追问！！！

Answer 2

证明
(1)(取特值法）令a≤0,b≥0且a+b≥0
则f(a+b)≥1=f(a)·f(b)
∵f(b)≥1
∴0＜f(a)≤1
因此，当x≥0时，f(x)≥1
当x<0时，0<f(x)<1
综上所述，f(x)在R上恒为正
（2)①令0<x1<x2
再引进一个任意实数c
那么x1+c<x2+c
则f(x1+c)/f(x2+c)=f(x1)/f(x2)
∵f(x1)>1
0<1/f(x2)<1
∴0<f(x1)/f(x2)<1.即f(x1)<f(x2)
②令x1≤x2≤0
再引进一个任意实数c
那么x1+c≤x2+c
则f(x1+c)/f(x2+c)=f(x1)/f(x2)
∵0<f(x1)≤1
1/f(x2)≥1
∴f(x1)≤f(x2)
③当x1<0，x2>0
则0<f(x1)<1
f(x2)>1
等式f(x1)<f(x2)恒成立
综上所述，f(x)在R上是增函数.
（最后说下，这题好难，我想了2小时，希望对你有用，这个抽象函数的背景是指数函数，并且是底数a>1的那种）