Question

f(x+1)为奇函数f(x+1)=-f(-x+1)吗？

函数f(x)的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则_____ A.f(x)是偶函数 B.f（x）是奇函数 C.f（x）=f（x+2） D.f（x+3）是奇函数 答案： f(x+1)是奇函数，说明f(x+1)=-f(-x+1),① f(x-1)是奇函数，说明f(x-1)=-f(-x-1).② 令x=x-1代入①得f(x)=-f(-x+2), 令x=x+1代入②得f(x)=-f(-x-2), 所以f(-x+2)=f(-x-2)，令x=-x-2代入得f(x+4)=f(x)，说明函数的周期T=4， ∴f(x+3)=f(x-1)，又令x=x-2代入①有f(x-1)=-f(-x+3)， ∴f（x+3）=-f(-x+3), 所以函数f(x+3)是奇函数． 选D. 请高手帮忙解析一下为什么f(x+1)=-f(-x+1) 和f(x-1)=-f(-x-1) ，如果按常理奇函数f(x)=-f(-x) , (x+1)应该为一个整体，应该f(x+1)=-f(-x-1) ，，请高手帮忙解析一下，，，，，，

Answer 1

好题啊！很久没看过这种不太难，要对定义理解很透的题了。选D。若是“如果按常理奇函数f(x)=-f(-x)
,
(x+1)应该为一个整体，应该f(x+1)=-f(-x-1)
”你的原话。按你这样理解，那f(x)是奇函数了，对不？但题目中f(x)不是奇函数，矛盾就是，奇函数的定义为：假定f(x)是奇函数，则用x代和用-x代的两个函数值互为相反数。题目说的是f（x+1）与f（x-1）是奇函数，而非f(x)是奇函数。你只要在f（x+1）与f（x-1）中的x用-x代就可以了。你在潜意识里吧x+1整个当成x了。而f(x+1)可以看成f(x)向左平移一个单位，图像当然不一样，图像不一样了，函数就不一样。解题时要注意这一点。