Question

欧拉公式的推导过程

Answer 1

级数展开即可证明
将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋…
<1>
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+……
<2>
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+……
<3>
将<1>式中的x换为ix,得到<4>式；
将i*<2>+<3>式得到<5>式。比较<4><5>两式，知<4>与<5>恒等。
于是我们导出了e^ix=cosx+isinx，
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
P.S.
幂级数
c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...=∑cnx^n
(n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+...+cn(x-a)^n+...=∑cn(x-a)^n
(n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,
其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数,
这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...f(n)(a)/n!*(x-a)^n+...
实用幂级数：
ex
=
1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
ln(1+x)=
x-x^2/3+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+...
(|x|<1)
sin
x
=
x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+...
(-∞
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